В отличии от задачи двух тел задача трех тел не имеет точного решения. Однако на практике точное решение не всегда необходимо. В связи с этим возникает вопрос, в каких случаях при проведении приближенного решения задачи трех тел допустимо воспользоваться уравнениями задачи двух тел?

На практике, обычно, приходится иметь дело с тремя телами, у которых соотношение масс m 1 » m 2 » m 3. Пусть расстояние между этими телами r12 ≈ r13 » r23. Рассмотрим движение наименьшего тела m 3 относительно среднего тела m 2 с учетом влияния со стороны наибольшего тела m 1. В неинерциальной системе координат, связанной с телом m 2, отношение модуля ускорения тела m 3, обусловленное действием силы притяжения со стороны тела m 2, к модулю ускорения этого же тела m 3, обусловленного действием возмущающей силы тяжести со стороны тела m 1, будет (рис.1)

Модуль суммы векторов и, между которыми угол α (рис.1) определяется при помощи теоремы косинусов

Как видно из уравнения (1.10) с увеличением расстояния между телами m 3 и m 2 влияние тела m 2 на движение тела m 3 относительно тела m 2 по сравнению с возмущающим влиянием тела m 1 стремительно уменьшается. Так, если при неизменном угле β расстояние r23 увеличивается лишь в 2,15 раз, то тогда отношение ускорений ξ уменьшается в 2,153 = 10 раз, а если r23 увеличивается всего лишь в 4,64 раза, то тогда ξ уменьшается уже в 4,643 = 100 раз. Такая особенность кубической функции дает возможность выделить область доминирования тела m 2 в гравитационном поле тела m 1. Для определения границы области доминирования в уравнение (1.10) необходимо подставить ξ = 1, получается

Область доминирования меньшего тела в гравитационном поле большего тела m 1 имеет простую округлую форму (рис.2). Поэтому при грубом рассмотрении сближения тела m 3 с телом m 2 удобно использовать сферу доминирования, радиус которой rср равняется среднему значению r(β) по всем направлениям (рис.2,3)

Уравнение (1.13) позволяет в целом ряде случаев приближенных расчетов свести сложную трехмерную задачу трех и более тел до совокупности простых двухмерных задач двух тел. Так, если тело m 1 находится за пределами сферы доминирования тела m 2, то тогда при проведении грубых расчетов движения тела m 3 относительно тела m 1 можно пренебречь действием возмущающей силы со стороны тела m 2. Если же тело m 3 находится внутри сферы доминирования тела m 2, то тогда при проведении грубых расчетов движения тела m 3 можно пренебречь действием возмущающей силы со стороны тела m 1. Так, например, радиус орбиты Луны в 6,7 раз меньше радиуса сферы доминирования Земли в гравитационном поле Солнца. Возмущающее воздействие Солнца по сравнению с влиянием Земли получается где-то в 6,73 = 300 раз меньше.

Подобные методы упрощения задачи трех тел хорошо зарекомендовали себя в космонавтике при проведении расчетов траекторий полета межпланетных аппаратов [2]. В работе [1] для случая r12 = const, т.е. для случая движения тела m 2 вокруг тела m 1 по круговой орбите было введено понятие сферы влияния меньшего тела в гравитационном поле большего тела путем использования интеграла Якоби. Исходя из условия минимизации ошибки приближенного расчета постоянной интеграла Якоби была получена формула для вычисления радиуса сферы влияния.